酷炫数字魔法阵——基本操作

Chen_Py 收录于数学

2024-03-16 约 1900 字预计阅读 4 分钟

话不多说，先上定义：

【我给的定义】 矩阵就是一个数表，是一种很酷炫的数据类型，~~具有神奇的魔法~~

矩阵跟行列式是有本质区别的，行列式是一个表达式，而矩阵是一种数据类型。

有一些特殊的矩阵，这里总结一下：

方阵（$A_{n \times n}$）
对角阵（$\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}$）
上三角阵、下三角阵（$\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}$、$\begin{bmatrix} a_{11}&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn} \end{bmatrix}$）
单位阵$E_n=\begin{bmatrix} 1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&1 \end{bmatrix}$
对于矩阵$A_{m \times n}$，当$m=1$时称为行向量（$A_{1 \times n}$）；当$n=1$时称为列向量（$A_{m \times 1}$）
标量矩阵（$\begin{bmatrix} k&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&k \end{bmatrix}$）
零矩阵（$0_{m \times n}=\begin{bmatrix} 0&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0 \end{bmatrix}$）
实矩阵：元素都是实数
复矩阵：元素都是复数~~（我高考复数选择错了呜啊）~~

矩阵的常规加减、数乘、阵乘运算么，公式太不直观了，还是代码来得直观~~（滑稽）~~

【加法】

Mat operator +(const Mat tmp)const//矩阵加法 
{
	Mat ans=Mat(m,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans.M[i][j]=M[i][j]+tmp.M[i][j];
	return ans;
}

【减法】

Mat operator -(const Mat tmp)const//矩阵减法 
{
	Mat ans=Mat(m,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans.M[i][j]=M[i][j]-tmp.M[i][j];
	return ans;
}

【数乘】（矩阵乘数）

Mat operator *(const double tmp)const//矩阵乘数 
{
	Mat ans=Mat(m,n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			ans.M[i][j]=M[i][j]*tmp;
	return ans;
}

【矩阵乘法】

Mat operator *(const Mat tmp)const//矩阵乘法 
{
	Mat ans=Mat(m,tmp.n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
		for(int j=1;j<=tmp.n;j++)
			for(int k=1;k<=n;k++)
				ans.M[i][j]+=M[i][k]*tmp.M[k][j];
	return ans;
}

好了，我们可以看到加法、减法、数乘还是和我们的想法很接近的，可是矩阵乘法确实如此诡异，这是为什么捏？正所谓万物的存在都有它的原因，阵乘之所以如此诡异，是为了~~考试出题难~~完成一些非阵乘不可的任务。

柿子捡软的捏，先分析加法减法数乘的性质

~~用张超老师的话说，取名字是为了让你们好记~~

【加减法】

$A \pm B=B \pm A$（加减交换律）
$(A \pm B) \pm C=A \pm (B \pm C)$（加减结合律）
$A \pm 0_{m \times n}=A$
$A+(-A)=A-A=0_{m \times n}$

【数乘】

$(kl)A=k(lA)$（数乘结合律）
$(k+l)A=kA+lA$（阵·分配律）
$k(A+B)=kA+kB$（数·分配律）
$1A=A$

所谓世有非常之人，然后有非常之事。有非常之阵乘，然后有非常之性质。如此诡异的乘法规则，当然会有一些奇葩的性质等你去背啦~~（就多一条而已嘛）~~

$(AB)C=A(BC)$（结合律）
$A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AB+BC$（左右分配律）
$k(AB)=(kA)B=A(kB)$（数·结合律）
$E_mA_{m \times n}=A_{m \times n}E_n=A_{m \times n}$
$0_{p \times m}A_{m \times n}=0_{p \times n},A_{m \times n}0_{n \times q}=0_{m \times q}$

与常数乘法比较，矩阵乘法具有许多特殊性，主要有：

矩阵乘法不满足交换律，即$AB\neq BA$
矩阵乘法不满足消去律，即由$AB=AC$不能推出$B=C$
矩阵乘法有零因子，即存在矩阵$A \neq 0,B\neq 0,s.t.AB=0$，故不能由$AB=0$推出$A=0$或$B=0$

有乘法就有乘幂，由于只有“前列等于后行”的矩阵才能相乘，于是只有方阵才能乘幂也就不奇怪了

方阵乘幂的性质：

$A^kA^l=A^{l+k}$
$(A^l)^k=A^{lk}$

当然，由于矩阵乘法具有结合律，方阵的幂可以由快速幂来求（$O(logn)$）这个性质可以应用于求递推数列（如斐波那契数列），这种用矩阵快速幂来快速求解递推数列的方法称为矩阵加速

另外，作为乘法不满足交换律的自然结果，一般说来$(AB)^k \neq A^kB^k$

以上就是酷炫数字魔法阵的基本运算~~（还有高级运算以后再说）~~，还算很简单吧

下面介绍方阵的行列式与行列式的乘法公式

其实也没啥好介绍的，矩阵是个数表吧，把方阵当成行列式就行了。。。

【我给的定义】 把方阵$A$旁边的括号偷偷换成竖线得到的行列式叫做方阵$A$的行列式，记作$det A$或$|A|$

【很重要的定理】 $|kA|=k^n|A|$

【行列式乘法公式】 $|AB|=|A||B|$

下面来介绍一下行列式的一个简单操作“转置”，我们把矩阵$A$的转置记作$A^T$或$A'$

emmm,还是直接上代码来的痛快

Mat T()//转置矩阵 
{
	Mat ans=Mat(n,m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			ans.M[i][j]=M[j][i];
	return ans;
}

好了，看完代码基本就明白了，那么这个操作的性质：

$(A^T)^T=A$（显而易见）
$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(kA) ^T=kA^T$
$(AB)^T=B^TA^T$
$|A^T|=|A|$

如果一个矩阵$A$满足$A^T=A(A^T=-A)$，我们就称它为对称矩阵（反称矩阵）

如果一个矩阵$A$是复矩阵，那么由其所有元素的共轭复数组成的矩阵叫这个矩阵的共轭矩阵，记为$\overline{A}$

那么又共轭又转置的矩阵叫啥呢？共轭转置矩阵$(\overline{A})^T$！真聪明。。。

共轭矩阵满足：

$\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$
$\overline{kA}=\overline{k}\cdot \overline{A}$
$\overline{AB}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
$|\overline{A}|=\overline{|A|}$

好了，矩阵的基本操作就这些了，~~再往后就开始难了~~